A cosa servono gli integrali?

Per comprendere bene gli integrali è necessario studiare a fondo la materia, ma qui cercheremo di dare un'idea di cosa sia un integrale mantenendoci il più lontano possibile da complesse definizioni di carattere matematico.

Tutti sanno calcolare l'area di un rettangolo: base per altezza.
Ma come faciamo a calcolare l'area di una forma geometrica dai lati non lineari?
Proviamo a disegnare una pozzanghera.
Bene. Gli integrali ci permettono di calcolare l'area della pozzanghera che abbiamo disegnato... Essi cercano di ridurre l'errore delle curve della pozzanghera a zero.
Troveremo un errore di eccesso e un errore di difetto... con l'integrale i due errori si compensano in modo da trovare perfettamente l'area della pozzanghera.

Un integrale non è altro che una somma; una somma un po' particolare però.
Quando stiamo risolvendo un integrale in realtà abbiamo a che fare con quantità piccolissime (infinitesimali) che sommiamo le une alle altre, il valore dell'integrale non è altro che il totale della somma (non a caso l'integrale è indicato con una strana S allungata).

Per fissare le idee possiamo pensare a dei granelli di sabbia, se ne prendiamo 2 o 3 si potrebbe dire che la somma del loro peso è zero, ma se ne prendessimo qualche milione la somma del loro peso inizierebbe ad essere considerevole.

Nel caso degli integrali i granelli di sabbia sono talmente piccoli (chiamati infinitesimi) ma in numero talmente elevato (cioè infiniti) che la somma infinita di questi infinitesimi ti dà un risultato numerico (quando possibile) normale.

Alla fine, come già detto, l'integrale non è altro che lo strumento matematico che ci permette di sapere qual è il risultato della somma di un numero infinito di addendi infinitesimali.

Le principali applicazioni sono:
- Calcolo di aree, calcolo di volumi di solidi (di rotazione in part.).
- Calcolo della media di una funzione in un certo intervallo (media integrale)
- Calcolo della lunghezza di una curva in un spazio a n dimensioni.
- Calcolo della curvatura di una funzione.
- Risoluzione di equazioni differenziali.
- In meccanica, nella cinematica e nella dinamica. Soprattutto quando si parla di Lavoro e Energia. Calcolo del momento d'inerzia.
- Serie. Il concetto di serie e il concetto di integrale sono molto legati. In particolare sono molto importanti nella serie e la trasformata di Fourier.
- In elettrodinamica, le quattro leggi di Maxwell sono formulate con degli integrali.
- In probabilità, hanno una certa rilevanza nella probabilità continua (campana di Gauss, calcolo della media, della varianza,...)
- Termodinamica, entropia.


Gli integrali servono a calcolare la superficie che sta al di sotto di una curva, data da una funzione matematica della forma y=f(x) nel caso più semplice. In pratica un integrale è la somma di (n) piccoli rettangoli che approssimano tale area seguendo l'andamento della curva stessa. Naturalmente per lavorare con gli integrali è necessario avere ben chiaro il concetto di derivata di una funzione continua.

L'integrale di una funzione può assumere un significato "reale" nel momento in cui lo si associa ad una grandezza fisica che viene rappresentata.

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